اعداد صحیح شامل تمامی اعداد مثبت، منفی و عدد صفر هستند. کلمه «صحیح» از واژه لاتین «integer» به معنای «کامل» یا «دست نخورده» گرفته شده است. این بدان معناست که اعداد صحیح شامل کسرها یا اعداد اعشاری نمی‌شوند. در این مقاله به بررسی جامع‌تری درباره تعریف، مفهوم و ویژگی‌های اعداد صحیح خواهیم پرداخت.
تعریف اعداد صحیح
در ریاضیات اعداد صحیح مجموعه‌ای از اعداد را تشکیل می‌دهند که شامل تمامی اعداد صحیح مثبت و منفی به همراه صفر هستند. به عبارت دیگر، اگر اعداد منفی را به مجموعه اعداد طبیعی اضافه کنیم، مجموعه اعداد صحیح شکل می‌گیرد. این مجموعه با نماد Z نمایش داده می‌شود:
- اعداد مثبت: عددی که بزرگتر از صفر است. به عنوان مثال: ۱، ۲، ۳،…
- اعداد منفی: عددی که کوچک‌تر از صفر است. به عنوان مثال: -۱، -۲، -۳،…
- صفر: عدد صفر نه مثبت است و نه منفی و به عنوان یک عدد کامل شناخته می‌شود.
نمایش مجموعه اعداد صحیح
مجموعه اعداد صحیح با استفاده از نماد Z به این صورت نمایش داده می‌شود:
$${Z{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {…, – ۷, – ۶, – ۵, – ۴, – ۳, – ۲, – ۱,۰,۱,۲,۳,۴,۵,۶,۷,{\rm{ }}…} \right\}}$$
این مجموعه شامل تمامی اعداد صحیح مثبت و منفی است که بی‌نهایت در هر دو جهت ادامه دارند.
نمایش اعداد صحیح روی محور اعداد
محور اعداد، نمایش تصویری از اعداد روی یک خط مستقیم است. این خط به صورت افقی کشیده می‌شود و اعداد در فواصل مساوی بر روی آن قرار می‌گیرند. اعداد مثبت در سمت راست و اعداد منفی در سمت چپ عدد صفر قرار می‌گیرند. محور اعداد ابزاری مهم برای مقایسه و انجام عملیات ریاضی روی اعداد صحیح است.
نمودار اعداد صحیح روی محور اعداد
اعداد صحیح را می‌توان روی محور اعداد به صورت بصری نمایش داد. این نمایش به ما کمک می‌کند تا بتوانیم به سادگی عملیات جمع و تفریق را انجام دهیم. برخی از نکات کلیدی هنگام قرار دادن اعداد صحیح روی محور اعداد عبارتند از:
- عددی که در سمت راست قرار دارد، همیشه بزرگتر از عدد سمت چپ است.
- اعداد مثبت در سمت راست صفر و اعداد منفی در سمت چپ صفر قرار می‌گیرند.
- عدد صفر که نه مثبت است و نه منفی، معمولاً در وسط محور قرار دارد.
عملیات ریاضی روی اعداد صحیح
به طور کلی چهار عمل اصلی ریاضی که روی اعداد صحیح انجام می‌شود عبارتند از:
- جمع اعداد صحیح
- تفریق اعداد صحیح
- ضرب اعداد صحیح
- تقسیم اعداد صحیح
جمع اعداد صحیح
جمع اعداد صحیح به معنای یافتن مجموع دو یا چند عدد صحیح است. قوانین مختلفی برای جمع اعداد صحیح وجود دارد که بسته به مثبت یا منفی بودن اعداد، نتیجه ممکن است افزایش یا کاهش یابد.
- هنگامی که هر دو عدد صحیح هم‌علامت هستند: مقدار مطلق اعداد را با هم جمع کرده و به نتیجه همان علامت اعداد اصلی را اختصاص می‌دهیم.
$$\eqalign{ & ( + 2) + ( + 5) = |5 + 2| = + 7 \cr & ( – ۲) + ( – ۵) = |۵ + ۲| = – ۷ \cr} $$
- هنگامی که یکی از اعداد مثبت و دیگری منفی است: تفاضل مقدار مطلق اعداد را محاسبه کرده و به نتیجه علامت عدد بزرگتر را می‌دهیم.
$$\eqalign{ & ( + 2) + ( – ۵) = |۵ – ۲| = – ۳ \cr & ( – ۲) + ( + ۵) = |۵ – ۲| = + ۳ \cr} $$
تفریق اعداد صحیح
تفریق اعداد صحیح به معنای یافتن تفاوت بین دو عدد صحیح است. برای انجام عملیات تفریق، علامت عدد دوم (تفریق‌شونده) را تغییر داده و سپس قوانین جمع را اعمال می‌کنیم.
$$\eqalign{ & ( + 2) – ( + ۵) = ( + ۲) + ( – ۵) = |۵ – ۲| = – ۳ \cr & ( – ۲) – ( – ۵) = ( – ۲) + ( + ۵) = |۵ – ۲| = + ۳ \cr} $$
ضرب اعداد صحیح
قوانین ضرب اعداد صحیح به این صورت است که ضرب دو عدد صحیح به نتیجه‌ای با علامت خاصی می‌انجامد:
- مثبت × مثبت = مثبت
- مثبت × منفی = منفی
- منفی × مثبت = منفی
- منفی × منفی = مثبت
$$\eqalign{ & ( + 2) \times ( + 5) = + 10 \cr & ( – ۲) \times ( + 5) = – ۱۰ \cr & ( + 2) \times ( – ۵) = – ۱۰ \cr & ( – ۲) \times ( – ۵) = + ۱۰ \cr} $$
تقسیم اعداد صحیح
تقسیم اعداد صحیح به معنای تقسیم یک عدد صحیح به تعداد مساوی است. قوانین تقسیم اعداد صحیح مشابه قوانین ضرب است:
- مثبت ÷ مثبت = مثبت
- مثبت ÷ منفی = منفی
- منفی ÷ مثبت = منفی
- منفی ÷ منفی = مثبت
$$\eqalign{ & ( + 4) \div ( + 2) = + 2 \cr & ( – ۴) \div ( + 2) = – ۲ \cr & ( + 4) \div ( – ۲) = – ۲ \cr & ( – ۴) \div ( – ۲) = + ۲ \cr} $$
ویژگی‌های اعداد صحیح
اعداد صحیح دارای ویژگی‌های مختلفی هستند که شامل موارد زیر می‌شود:
- خاصیت بسته بودن (Closure)
- خاصیت شرکت‌پذیری (Associative)
- خاصیت جابجایی (Commutative)
- خاصیت توزیعی (Distributive)
- خاصیت معکوس جمعی (Additive Inverse)
- خاصیت معکوس ضربی (Multiplicative Inverse)
- خاصیت همانی (Identity)
خاصیت بسته بودن
خاصیت بسته بودن بیان می‌کند که یک مجموعه برای یک عمل ریاضی خاص بسته است. مجموعه اعداد صحیح (Z) در برابر جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد صحیح بسته است. برای هر دو عدد صحیح \(a\) و \(b\):
$$\eqalign{ & a + b \in Z \cr & a – b \in Z \cr & a \times b \in Z \cr & a{\rm{/}}b \in Z \cr} $$
خاصیت شرکت‌پذیری
طبق خاصیت شرکت‌پذیری، تغییر دسته‌بندی دو عدد صحیح تغییری در نتیجه عمل ایجاد نمی‌کند. قابل ذکر است که این خاصیت تنها برای جمع و ضرب دو عدد صحیح صدق می‌کند. برای هر دو عدد صحیح \(a\) و \(b\):
$$\eqalign{ & a + (b + c) = (a + b) + c \cr & a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \cr} $$
خاصیت جابجایی
طبق خاصیت جابجایی، تغییر جایگاه عملوندها در یک عمل ریاضی تأثیری در نتیجه ندارد. قابل ذکر است که این خاصیت تنها برای جمع و ضرب اعداد صحیح کاربرد دارد. برای هر دو عدد صحیح \(a\) و \(b\):
$$\eqalign{ & a + b = b + a \cr & a \times b = b \times a \cr} $$
خاصیت توزیعی
خاصیت توزیعی بیان می‌کند که برای هر عبارت به صورت \(a(b+c)\) که به معنای \(a×(b+c)\) است، عملوند \(a\) می‌تواند بین عملوندهای \(b\) و \(c\) توزیع شود:
$$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$$
خاصیت معکوس جمعی
خاصیت معکوس جمعی بیان می‌کند که حاصل جمع هر عدد صحیح مثبت با مقدار منفی آن برابر با صفر (۰) خواهد بود. برای هر عدد صحیح \(a\):
$$a + ( – a) = 0$$
خاصیت معکوس ضربی
خاصیت معکوس ضربی بیان می‌کند که حاصل ضرب هر عدد صحیح با معکوس آن برابر با یک (۱) خواهد بود. برای هر عدد صحیح \(a\):
$$a \times 1/a = 1$$
خاصیت همانی
اعداد صحیح خاصیت همانی را برای عملیات جمع و ضرب دنبال می‌کنند. خاصیت همانی جمعی بیان می‌کند که وقتی صفر به یک عدد صحیح اضافه شود، نتیجه همان عدد خواهد بود. این یعنی:
$${a + 0 = a}$$
به طور مشابه، خاصیت همانی ضربی بیان می‌کند که وقتی ۱ در هر عدد صحیح ضرب شود، نتیجه همان عدد خواهد بود. این یعنی:
$$a \times 1 = a$$
سخن پایانی
در این مقاله سعی شد تا شما را با اعداد صحیح و مفاهیم موجود در آن آشنا کنیم. اعداد صحیح کاربرد های فراوانی در ریاضیات دارند و در هر مقطع تحصیلی از آن استفاده می شود. در این مقاله آموزشی از مجله پی استور مسائل مهم و اولیه اعداد صحیح آموزش داده شدند و در ادامه مقالات بیشتری از این نوع آموزش ها در اختیار شما عزیزان قرار خواهیم داد.
واقعا که ساده و کامل هست من با خواندن این مقاله تونستم اعداد صحیح را بیشتر درک کنم و در آموزش از توضیحاتش استفاده می کنم.